协方差

什么是协方差？¶

协方差是一种统计工具，用于测量两个资产回报之间的方向性关系。正协方差表明资产回报一起波动，而负协方差则意味着它们呈现反向波动。

协方差的计算可以通过分析回报的波动幅度（与预期回报的标准差）或将两个随机变量之间的相关性乘以各自的标准差来完成。

关键要点¶

协方差是一种统计工具，用于确定两个随机变量之间运动关系。
当两只股票趋势相同时，它们的协方差为正；若趋向相反，则协方差为负。
协方差与相关系数不同，后者衡量的是相关关系的强度。
协方差在现代投资组合理论（MPT）中是确定投资组合中应包含哪些证券的重要工具。
通过将具有负协方差的资产进行组合，可以降低投资组合中的风险和波动性。

理解协方差¶

协方差评估两个随机变量的均值如何共同变化。例如，如果股票A的回报在股票B的回报上升时也随之上升，并且在两只股票的回报下降时也呈现相同的关系，那么这两只股票称为具有正协方差。在金融领域，利用协方差进行证券持有的多样化计算。

当分析师从选定的股票或基金获得价格信息时，可以使用以下公式计算协方差：

\[ \begin{aligned}&\text{协方差} = \sum \frac{ ( \text{Return}_{abc} - \text{Average}_{abc} ) \times ( \text{Return}_{xyz} - \text{Average}_{xyz} ) }{ \text{样本数量} - 1 } \\&\textbf{其中:} \\&\text{Return}_{abc} = \text{ABC股票的日回报} \\&\text{Average}_{abc} = \text{ABC在此期间的平均回报} \\&\text{Return}_{xyz} = \text{XYZ股票的日回报} \\&\text{Average}_{xyz} = \text{XYZ在此期间的平均回报} \\&\text{样本数量} = \text{采样天数} \\\end{aligned} \]

协方差的类型¶

协方差方程用于确定两变量之间关系的方向，换句话说，判断它们是否倾向于同向移动或反向移动。正协方差或负协方差值可用来确定这种关系。

两个变量之间的正协方差表明，这些变量通常在同一时间内具有较高或较低的值。换句话说，股票一和股票二具有正协方差的状态是：当股票一高于平均水平时，股票二同样高于平均水平，反之亦然。当在二维图上绘制时，数据点通常会向上倾斜。

当计算得出的协方差小于负值时，说明两个变量之间存在反向关系。也就是说，股票一的值低于平均值时，往往伴随着股票二的值高于平均值，反之亦然。

协方差的应用¶

协方差在金融与现代投资组合理论（MPT）中有着重要的应用。例如，在资本资产贴现模型（CAPM）中，该模型用于计算资产的预期回报，协方差用于公式中的一个关键变量——贝塔。CAPM中的贝塔测量证券与整体市场相比的波动性或系统风险；这是一个实用的指标，利用协方差来评估投资者对特定证券的风险敞口。

同时，投资组合理论利用协方差，通过协方差驱动的多样化来统计性地降低投资组合的整体风险，从而保护其免受波动的影响。

提示： 拥有回报相似的金融资产并不能提供太多的多样化。因此，一个多元化的投资组合通常会包含拥有不同协方差的金融资产的组合。

协方差与方差¶

协方差与方差有关，后者是数据集中点分布的统计度量。方差和协方差都衡量数据点围绕计算的均值的分布情况。然而，方差衡量的是数据在单轴上的分布，而协方差则考察两个变量之间的方向关系。

在金融上下文中，协方差用于研究不同投资之间的表现。正协方差表明两项资产倾向同时表现良好，而负协方差则表明它们倾向于反向变动。投资者可能会追寻具有负协方差的投资以帮助实现资产的多样化。

协方差与相关性¶

协方差与相关性也是不同的，后者是另一种常用于测量两个变量之间关系的统计指标。虽然协方差衡量两个变量之间关系的方向，但相关性则衡量该关系的强度。通常通过相关系数表达，范围从-1到+1。

重要： 虽然协方差确实测量两个资产之间的方向关系，但它并不表示两者之间关系的强度；相关系数是衡量这种强度的更合适的指标。

如果相关系数接近+1（正相关）或-1（负相关），则认为相关性较强。接近零的系数则表明两个变量之间的关系较弱。

协方差计算示例¶

资本希腊字母σ（Σ）表示所有计算的总和。因此，需要对每一天进行计算并汇总结果。例如，要计算两只股票之间的协方差，假设您拥有四天的股价数据并使用以下公式：

\[ \begin{aligned}&\text{协方差} = \sum \frac{ ( \text{Ret}_{abc} - \text{Avg}_{abc} ) \times ( \text{Ret}_{xyz} - \text{Avg}_{xyz} ) }{ \text{样本数量} - 1 } \\\end{aligned} \]

天	ABC	XYZ
1	1.2%	3.1%
2	1.8%	4.2%
3	2.2%	5.0%
4	1.5%	4.2%

您将找到第一天ABC（1.675%）和XYZ（4.125%）的平均回报，分别从相应的数值中减去，并进行相乘。对每一天进行如下计算：

\[ \begin{aligned}&\text{第1天} = (1.2\% - 1.675\%) \times (3.1\% - 4.125\%) = 0.487 \\\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}&\text{第2天} = (1.8\% - 1.675\%) * (4.2\% - 4.125\%) = 0.009 \\\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}&\text{第3天} = (2.2\% - 1.675\%) * (5.0\% - 4.125\%) = 0.459 \\\end{aligned} \]

\[ \begin{aligned}&\text{第4天} = (1.5\% - 1.675\%) * (4.2\% - 4.125\%) = -0.013 \\\end{aligned} \]

将每一天的结果累加：

\[ \begin{aligned}&0.487 + 0.009 + 0.459 - 0.013 = 0.943 \\\end{aligned} \]

您的样本数量为四，因此从四中减去一，然后将前面的结果除以这个数：

\[ \begin{aligned}&\frac{ 0.943 }{ 3 } = .314 \\\end{aligned} \]

该样本的协方差为0.314，正值表明这两只股票回报相似。

协方差为零意味着什么？¶

零协方差表明被测变量之间没有明确的方向关系。换句话说，某只股票的高值同样可能与另一只股票的高值或低值相配对。

协方差与方差的区别是什么？¶

协方差和方差用于测量数据集中点的分布。然而，方差通常用于只有一个变量的数据集，并指示数据点如何紧密围绕平均值聚集。协方差则衡量两个变量之间关系的方向。正协方差意味着两个变量趋势同时为高或低；负协方差则表示其中一个变量高时，另一个变量倾向低。

协方差与相关性的区别是什么？¶

协方差测量的是两个变量之间关系的方向，而相关性测量的是该关系的强度。当变量朝同一方向移动时，协方差和相关性均为正值，当它们反向移动时，均为负值。然而，相关系数的范围始终为-1到+1，极值表明强关系。

协方差是如何计算的？¶

对于一组具有两个变量的数据点，协方差通过取每个变量与其均值之间的差异来测量。这些差异随后被相乘，并在所有数据点上取平均。用数学符号表示为：

协方差 = Σ [ ( Returnabc - Averageabc ) * ( Returnxyz - Averagexyz ) ] ÷ [ 样本数量 - 1 ]

结论¶

协方差是比较多个变量之间关系的重要统计指标。在投资中，协方差用于识别可以帮助多样化投资组合的资产。