回归分析

什么是回归分析？¶

回归分析是一种统计方法，广泛应用于金融、投资及其他学科，旨在确定因变量与一个或多个自变量之间关系的强度和特征。

线性回归是这一技术中最常见的形式。线性回归也被称为简单回归或普通最小二乘法（OLS），它建立了两个变量之间的线性关系。

线性回归通过最佳拟合直线图形化展示，斜率定义了一个变量变化如何影响另一个变量的变化。线性回归关系的y截距表示当自变量为零时因变量的值。非线性回归模型也存在，但它们通常更为复杂。

关键要点¶

回归是一种将因变量与一个或多个自变量相关联的统计技术。
回归模型能够显示出因变量的变化是否与一个或多个自变量的变化相关联。
其主要通过确定最佳拟合线，观察数据围绕该线的分布情况来实现。
回归分析帮助经济学家和金融分析师进行从资产评估到预测等各个方面的工作。
为了正确解读回归结果，必须满足关于数据及模型本身的多个假设。

在经济学中，回归分析被用于帮助投资经理评估资产的价值，并理解商品价格与从事这些商品的企业股票之间的关系。

尽管回归分析是揭示数据中变量间关联的有力工具，但它不能轻易指明因果关系。回归作为一种统计技术，不应与“回归中值”概念混淆，即平均回归。

理解回归分析¶

回归分析捕捉数据集中变量之间的相关性，并量化这些相关性是否具有统计显著性。

回归的两种基本类型是简单线性回归和多元线性回归，尽管对于更复杂的数据分析也有非线性回归方法。简单线性回归利用一个自变量来解释或预测因变量Y的结果，而多元线性回归则使用两个或更多自变量来进行预测。分析师可以通过逐步回归来检查线性回归模型中包含的每一个自变量。

回归分析可以帮助金融及投资专业人士。例如，一家公司可能会使用它根据天气、以往销售额、国内生产总值（GDP）增长或其他条件来预测销售情况。资本资产定价模型（CAPM）是金融中常用的一种回归模型，主要用于资产定价和发现资本成本。

计量经济学是一套用于分析金融和经济数据的统计技术。计量经济学的一个应用示例是使用可观察数据研究收入效应。经济学家可能会假设，随着个人收入的增加，其支出也会增加。

如果数据表明存在这样的关联，则可以进行回归分析，以了解收入与消费之间关系的强度以及该关系是否具有统计显著性。

需要注意的是，在分析中可以有多个自变量，例如，GDP、通货膨胀和失业率的变化都可以用来解释股市价格。当使用一个以上的自变量时，称为多元线性回归。这是计量经济学中最常用的工具。

计量经济学有时因过于依赖回归输出的解释而受到批评，而没有将其与经济理论联系或寻找因果机制。至关重要的是，数据中揭示的发现能够通过理论得到合理解释。

计算回归分析¶

线性回归模型通常采用最小二乘法来确定最佳拟合线。最小二乘法是通过最小化由数学函数产生的平方和来实现的。平方的计算是通过对数据点与回归线或数据集均值之间的距离进行平方得出的。

完成这一过程后（如今通常使用软件进行操作），便构建了回归模型。每种类型的回归模型的一般形式如下：

简单线性回归：1

\[ \begin{aligned}&Y = a + bX + u \\\end{aligned} \]

多元线性回归：2

\[ \begin{aligned}&Y = a + b_1X_1 + b_2X_2 + b_3X_3 + ... + b_tX_t + u \\&\textbf{其中:} \\&Y = \text{您试图预测或解释的因变量} \\&X = \text{解释性的（自变量）} \\&\text{变量，您用它来预测或与Y相关联} \\&a = \text{y截距} \\&b = \text{（beta系数）是解释性变量的斜率} \\&u = \text{回归残差或误差项} \\\end{aligned} \]

回归分析在金融中的应用示例¶

回归分析常用于确定特定因素（例如，商品的价格、利率、特定行业或部门）如何影响资产的价格波动。上文提到的CAPM基于回归分析，用于预测股票的预期收益并计算资本成本。某只股票的收益率与更广泛的指数（如标普500）的收益率进行回归分析，以为该股票生成Beta值。

Beta值表示该股票相对于市场或指数的风险，反映在CAPM中的斜率。相关股票的收益率为因变量Y，而自变量X则是市场风险溢价。

可以将市值、估值比率和近期收益等额外变量添加到CAPM中，以获得更好的收益预测。这些额外因素被称为Fama-French因素，以开发出多元线性回归模型的教授的名字命名，以更好地解释资产收益。[3]

回归为何得名？¶

尽管关于这一名称起源存在一定争议，但上述统计技术很可能是由弗朗西斯·高尔顿爵士在19世纪创建的，以描述生物数据（例如一个种群中人们的身高）回归到某种平均水平的统计特征。换句话说，尽管有较矮和较高的人，只有异常值会非常高或非常矮，而大多数人则聚集在某个平均值附近或“回归”到该平均值。[4]

回归分析的目的是什么？¶

在统计分析中，回归用于识别出现在一些数据中的变量之间的关联。它可以显示这种关联的大小，并确定其统计显著性。回归是一种强大的统计推断工具，试图根据过去的观察来预测未来的结果。

如何解读回归模型？¶

回归模型的输出可能呈现为Y = 1.0 + (3.2)X1 - 2.0(X2) + 0.21。

这里是一个与两个解释变量X1和X2相关的多元线性回归。在此模型中，我们可以解读为：Y的值每当X1变化一个单位时，Y将变化3.2（如果X1增加2，则Y增加6.4等），假设其他条件不变。这意味着，在控制X2的情况下，X1有这一观察到的关系。同样地，控制X1不变，X2每增加一个单位，Y将减少2单位。我们还可以注意到y截距为1.0，意味着当X1和X2都为零时，Y为1。误差项（残差）为0。[2]1。[2]

回归模型必须满足哪些假设？¶

为了正确解读回归模型的输出，需要满足以下关于您所分析的底层数据过程的主要假设：

变量之间的关系是线性的；
必须存在同方差性，即变量和误差项的方差必须保持恒定；
所有解释变量彼此独立；
所有变量服从正态分布。[5]

总结¶

回归是一种统计方法，旨在确定一个因变量与一系列其他变量之间的关系强度和特征。它用于金融、投资和其他学科。

回归分析揭示了数据中变量之间的关联，但不能轻易指明因果关系。

参考文献¶

[1] Margo Bergman. “Quantitative Analysis for Business: 12. Simple Linear Regression and Correlation.” University of Washington Pressbooks, 2022.

[2] Margo Bergman. “Quantitative Analysis for Business: 13. Multiple Linear Regression.” University of Washington Pressbooks, 2022.

[3] Fama, Eugene F., and Kenneth R. French, via Wiley Online Library. “The Cross-Section of Expected Stock Returns.” The Journal of Finance, vol. 47, no. 2, June 1992, pp. 427–465.

[4] Stanton, Jeffrey M., via Taylor & Francis Online. “Galton, Pearson, and the Peas: A Brief History of Linear Regression for Statistics Instructors.” Journal of Statistics Education, vol. 9, no. 3, 2001.

[5] CFA Institute. “Basics of Multiple Regression and Underlying Assumptions.”